## Programme

Les exposés commenceront le mercredi à 9 heures pour se terminer le vendredi à 12h. Le mercredi et le jeudi, les exposés finiront à 17 heures.

Le programme est également disponible ici au format pdf.

## Mercredi 5 février

Résumé

Il y a 50 ans, Cerny a posé une conjecture combinatoire sur les automates, qui n’est toujours pas résolue. Un automate est dit synchronisé quand il existe un mot $u$ et un état $p$ tel que depuis n’importe quel état, si on lit $u$ on arrive en $p$. Sa conjecture est que si l’automate synchronisé possède $n$ états, alors il existe un tel $u$ de longueur au plus $(n-1)^2$. Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la version probabiliste de la conjecture de Cerny : on montrera qu’un automate aléatoire est non seulement synchronisé avec forte probabilité (en donnant une autre preuve d’un résultat de Berlinkov), mais qu’en plus la conjecture de Cerny est vraie avec forte probabilité.

Résumé

Les circuits sont des assemblages planaires d’opérateurs abstraits (appelés générateurs) dotés d'entrées et de sorties. Ils peuvent modéliser, entre autres, des circuits imprimés, des opérations algébriques ou des systèmes de réécriture. Nous allons dénombrer les circuits selon leurs nombres d'entrées et de sorties et selon la nature et le nombre de leurs générateurs. La principale difficulté que nous allons rencontrer provient de l’ambiguïté de la grammaire qui les définit. Nous allons dans un premier temps présenter une nouvelle grammaire non ambiguë qui les engendre. Nous en déduirons une bijection entre les circuits et des familles de chemins colorés en trois dimensions. En étudiant la combinatoire de ces chemins, nous obtiendrons des formules de récurrence, des équations fonctionnelles et des formules closes sur les circuits.

Résumé

A meander is a topological configuration of a line and a simple closed curve on the plane (the road and the river), or equivalently, a pair of simple closed curves on the 2-sphere, intersecting transversally. Similarly, we define a higher genus meander as a configuration of a pair of simple closed curves on a surface of higher genus. For meanders of fixed topological type (fixed number of minimal arcs), we give asymptotic formula for the number of such meanders as the number of crossings tends to infinity. We also derive similar formula for meanders of genus tending to infinity. The results are based on the interpretation of meanders as square-tiled surfaces with one horizontal and one vertical cylinder and on the recents developments in the couting of such flat surfaces as $g$ tends to infinity. This is a joint work with Vincent Delecroix, Anton Zorich and Peter Zograf.

### Repas salle 76, LaBRI

Résumé

Operads are mathematical structures which have been intensively studied in the context of topology, algebra but also combinatorics. In the last decades, several interesting operads on trees have been defined. Amongst these tree operads, maybe the most studied is the pre-Lie operad PLie. It then seems natural to ask what kind of operads can be defined on graphs and what are their properties. This question also comes from physics, where graph operads are used to encode the combinatorics of the renormalization of Feynman graphs.

In this talk I explore this question by providing a general way to define graph operads and investigating particularly interesting operads generated in this way.

Résumé

A number of $q$-deformations are known in algebra, geometry and combinatorics. However, $q$-deformations of numbers are only well understood (since Euler and Gauss) for integers. Many classical sequences of integers have interesting $q$-analogues. The best known one is the notion of $q$-binomial coefficients. I will talk of a recent attempt, with Sophie Morier-Genoud, to develop a theory of $q$-deformed rational and real numbers, based on combinatorial properties of continued fractions. A $q$-rational is a ratio of certain polynomials with positive integer coefficients. I will give a combinatorial interpretation of the coefficients and describe some properties, such as total positivity. A $q$-real is understood as a formal power series with integer coefficients. I will give several concrete examples.

Résumé